202001210008由擲幣看病例 如何推算武漢疫情

馮儁熙/美國喬治亞南方大學徐建萍公共衛生學院流行病學副教授

武漢2019新型冠狀病毒疫情,截至2020年1月16日24時,武漢官方公布 的確診病例為45宗。翌日,倫敦帝國學院的世界衛生組織傳染病模型合作中心,於大學網頁公布 ,尼爾‧弗格森(Neil Ferguson)教授團隊用統計學模型推算出,截至2020年1月12日,約有1723宗病例發病,95個百分比信賴區間(Confidence interval)為427至4471宗病例。也即是說,實際疫情可能是已公布確診病例的10倍至100倍。倫敦帝國學院的推算一出,華文媒體立刻熱議。讀者或會問,弗格森教授團隊沒有到現場蒐集數據,他們如何估算病例數目的呢?

早前有網民指新型冠狀病毒「只出國不出省,是個愛國病毒 」,質問如果日本、泰國都有病例,為什麼中國就只有武漢有病例?中國大陸交通四通八達,為什麼湖北省其他地方,或者京津滬杭等大城市都沒有病例呢?很多人覺得這個現象很不尋常。

退1萬步說,假如武漢公布的數據是不準確的,單憑我們所確知在大陸境外的病例數目,又可以怎樣推算武漢疫情的病例總數呢?弗格森教授團隊就作出了示範,由簡單的數據及假設開始,通過統計學方法推算,一步步將上述網民的質疑,以定量的方法表達出來。

讓筆者先舉個擲硬幣的例子 (如表一) 。

你擲硬幣擲了N次,但你不告訴我,你一共擲了多少次。你只告訴我,你擲了N次才有3次是正面(X=3)。假設你的硬幣是公正的(fair coin),你擲硬幣擲中正面的概率p是0.5。現在你請我推算,你前後擲硬幣擲了多少次,才擲中3次正面。

我雖然不知道你擲硬幣擲了多少次,但由於每次擲硬幣擲中正面的概率是0.5,又知道你是第3次擲中正面才停下來,平均來說,你應該擲了6次。也即是說,擲硬幣總次數N的期望值E(N)= X/p = 3/0. 5 = 6。

應比已公布更嚴重

用統計學的說法,擲硬幣的總次數N,與擲中正面的次數X和每次擲硬幣擲中正面的概率p的關係,就是一個負二項分布(negative binomial distribution):N~NB(X,p)。而N在這個分布的平均數值,就是X/p。(可參考這個連結 ,注意裡面的X就是這裡的N, r是這裡的X。)

那麼,擲硬幣與疫情有什麼關係?讓我們做一個類比。假設每一次擲硬幣,就相當於一個武漢新型冠狀病毒病例,但我們不知道病例總數N。假設每個武漢病例在被確診隔離前,都有可能出境旅遊。他們出境旅遊的概率p,類似於每次擲硬幣擲中正面的概率,但數值小得多。而在境外被確診的病例數目,就相當於擲幣擲中正面的次數。現在,境外有3個被確診的病例,X=3。這些數據我們確知是真確的。因此,只要我們能推算出,每個病例在被確診隔離前出境旅遊的概率p,就可以推算出武漢疫情的病例總數N,負二項分布的平均值,就是X/p。

怎樣推算每個武漢病例在被確診隔離前出境旅遊的概率?弗格森教授團隊假設1個武漢人每日出境外遊的概率,就是武漢國際機場國際線每日離境航班的3301人次(包含直航及轉機客),除以大武漢地區的人口(1900萬): 3301/19000000。這是每人每日出境的概率。

由於新型冠狀病毒潛伏期為5至6日,而按最近疫情的數據,由病發至被確診隔離約4至5日,因此假設一個病人由被感染至被確診隔離的平均日數為10日,也即假設一個病人有10日時間出境。他們出境旅遊的概率p,就等於每人每日出境概率的10倍。也就是p=10×3301/19000000。最後,弗格森教授團隊假設一個武漢病例出境外遊後,是一定會在海外被確診的。

正如我們憑著擲硬幣擲中正面的次數X,以及每次擲硬幣擲中正面的概率p,可以求擲硬幣的總次數N,弗格森教授團隊就是憑著同樣的邏輯,通過在境外被確診的病例數目X,每個武漢病例在被確診隔離前出境旅遊的概率p,推算出武漢疫情的病例總數N,負二項分布的平均值,就是X/p,約1700多人。

弗格森教授團隊的推算,其背後的假設固然有可討論之處,其推算準確與否,也只有事過境遷之後才可判斷。但對於台灣、香港,以及世界各地的公共衛生機構而言,弗格森教授團隊推算的意義,卻是非常清楚:武漢疫情應該比已公布的更嚴重,很有可能會有更多病例陸續被確診。弗格森教授團隊「建議疫情監測擴展至武漢地區及中國各地交通樞紐(Wuhan area and other well-connected Chinese cities) ,當地所有肺炎或嚴重呼吸疾病之住院病例。」

言猶在耳,武漢市在1月19日凌晨公布 ,當地1月17日再新增17宗病例。可見海外科學家雖然無法在武漢蒐集數據,但憑著合乎常識的假設,運用統計學方法,是可以從另一個途徑檢視中國大陸官方公布的數據是否合理,進而善意提醒中國當局,認真透明處理疫情,是《國際衛生條例》對每一個世界衛生組織成員國的要求,更是負責任之大國所當為也。

泰國日本風險最高

最後補充一點。弗格森教授團隊所引用的武漢航班數據,源自另一篇發表於今年1月14日的論文 。該文作者波戈奇(Isaac Bogoch)醫生團隊,引用2018年1月至3月國際航空運輸協會數據指出,武漢國際機場境外航線離境人次(包含直航及轉機客),首4位目的地,分別是:曼谷(4萬1080)、香港(2萬3707)、東京(2萬0001)和台北(1萬7645)。如今,泰國與日本分別有確診病例,之後哪裡的風險最高,呼之欲出。

中國大陸減少赴台遊客數目,客觀上減少了台灣遇到新型冠狀病毒確診病例的風險,可謂禍兮福所依是也。

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