201212111514二項分布與Poisson分布

二項分布和Poisson分布均是常見的離散型分布,在分類資料的統計推斷中有非常廣泛的應用。
  
  一、二項分布的概念及應用條件
  1. 二項分布的概念:
  
   如某實驗中小白鼠染毒後死亡概率P為0.8,則生存概率為=1-P=0.2,故
  
   對一只小白鼠進行實驗的結果為:死(概率為P)或生(概率為1-P)
  
   對二只小白鼠(甲乙)進行實驗的結果為:甲乙均死(概率為P2)、甲死乙生[概率為P(1-P)]、乙死甲生[概率為(1-P)P]或甲乙均生[概率為(1-P)2],概率相加得P2+P(1-P)+(1-P)P+(1-P)2=[P+(1-P)]2
  
    依此類推,對n只小白鼠進行實驗,所有可能結果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1- P)x=[P+(1-P)]n 其中n為樣本含量,即事件發生總數,x為某事件出現次數,cnxPx(1-P)n-x為二項式通式,cnx=n!/x!(n-x)!, P為總體率。
  
   因此,二項分布是說明結果只有兩種情況的n次實驗中發生某種結果為x次的概率分布。其概率密度為:
  
  P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。
  
  2. 二項分布的應用條件:
  
   醫學領域有許多二分類記數資料都符合二項分布(傳染病和遺傳病除外),但應用時仍應註意考察是否滿足以下應用條件:(1) 每次實驗只有兩類對立的結果;(2) n次事件相互獨立;(3) 每次實驗某類結果的發生的概率是一個常數。
  
  3. 二項分布的累計概率
  
   二項分布下最多發生k例陽性的概率為發生0例陽性、1例陽性、...、直至k例陽性的概率之和。至少發生k例陽性的概率為發生k例陽性、k+1例陽性、...、直至n例陽性的概率之和。
  
  4. 二項分布的圖形
  
   二項分布的圖形有如下特征:(1)二項分布圖形的形狀取決於P 和n 的大小;(2) 當P=0.5時,無論n的大小,均為對稱分布;(3) 當P<>0.5 ,n較小時為偏態分布,n較大時逼近正態分布。
  
  5. 二項分布的均數和標準差
  
   二項分布的均數&micro;=np,當用率表示時&micro;=p
  
   二項分布的標準差為np(1-p)的算術平方根,當用率表示時為p(1-p)的算術平方根。
  
  二、二項分布的應用
   二項分布主要用於符合二項分布分類資料的率的區間估計和假設檢驗。當P=0.5或n較大,nP及n(1-P)均大於等於5時,可用(p- u0.05sp,p+u0.05sp)對總體率進行95%的區間估計。當總體率P接近0.5,陽性數x較小時,可直接計算二項分布的累計概率進行單側的假 設檢驗。當P=0.5或n較大,nP及n(1-P)均大於等於5時,可用正態近似法進行樣本率與總體率,兩個樣本率比較的u檢驗。
  
  三、Poisson分布的概念及應用條件
  1. Poisson分布的概念:
  
    Poisson分布是二項分布n很大而P很小時的特殊形式,是兩分類資料在n次實驗中發生x次某種結果的概率分布。其概率密度函數為:P(x)=e-& amp;micro;*&micro;x/x! x=0,1,2...n,其中e為自然對數的底,&micro;為總體均數,x為事件發生的陽性數。
  
  2. Poisson分布的應用條件:
  
   醫學領域中有很多稀有疾病(如腫瘤,交通事故等)資料都符合Poisson分布,但應用中仍應註意要滿足以下條件:(1) 兩類結果要相互對立;(2) n次試驗相互獨立;(3) n應很大, P應很小。
  
  3. Poisson分布的概率
  
   Poisson分布的概率利用以下遞推公式很容易求得:
  
   P(0)=e-&micro;
  
   P(x+1)=P(x)*&micro;/x+1, x=0,1,2,...
  
  4. Poisson分布的性質:
  
  (1) Poisson分布均數與方差相等;
  
  (2) Poisson分布均數&micro;較小時呈偏態,&micro;>=20時近似正態;
  
  (3) n很大, P很小,nP=&micro;為常數時二項分布趨近於Poisson分布;
  
  (4) n個獨立的Poisson分布相加仍符合Poisson分布
  
  四、Poisson分布的應用
    Poisson分布也主要用於符合Poisson分布分類資料率的區間估計和假設檢驗。當&micro;>=20時,根據正態近似的原理, 可用(x-u0.05*x的算術平方根,x+u0.05*x的算術平方根)對總體均數進行95%的區間估計。同樣,也可通過直接計算Poisson分布的 累計概率進行單側的假設檢驗,在符合正態近似條件時,也可用u檢驗進行樣本率與總體率,兩個樣本率比較的假設檢驗。

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