201612312245拋物線是個比大小的遊戲

「重點是你要怎麼去說那件事情。我認為沒有任何一件事情,一定要被解釋成什麼樣子。

也沒有任何一件事情,一定要用什麼方法去解釋。」

— DJ Hauer  of  Taiwan Bar

    

      如果有人說:「我們來玩一個遊戲,講一個數字a,把它加上8 得 a + 8,再將兩數相乘得式1.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲,那麼取怎樣的a,式1.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲會最小呢?」這時學過二次函數的我們,如果我們令乘出來的值是 p,則有

式2.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲

所以 p是a的二次函數此處”函數”一詞,您不妨把它當成是數學中的 ”古文”,其白話文意義是 ”對應關係”。就像你可能知道,”花木扶疏” 的 "扶疏” 其實是 ”茂密” 的意思,不是”稀疏”;而成語 ”杯水車薪” 是指 ”力量太小,解決不了問題”,而非 ”薪水很少” 的意思。

      “函數” 是指”對應關係”,怎麼說呢?比如說(1)中,函數在a = 0時對應到p = 0、a = 1時對應到p = 9、a =1時對應到p =-7等等,每一個a值恰好對到一個p值。那為何要叫二次函數呢?因為(1)的右式是a的二次多項式。”二次函數”它其實是 ”二次多項式函數” 的簡稱,而二次函數的圖形,其實就是個拋物線。以(1)為例子,先製作下表

表1

再把a與p的關係畫成圖形,則有

圖1

有沒有看到除了a =4時的最低點之外,其他的點都比較高,那是因為算出來的p比較大,且a離4愈大,則p愈大。

      本文標題説:二次函數是個比大小的遊戲,看看(1),我們應該不會想找a使p最大,因為你從(1)知道,如果取式3.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲,則p可以無止境增大,因此不可能有最大值。但如果要在(1)中找a使p最小,看起來比較有可能。此時,有兩個方法,第一個是去試很多個a,找出其中算出的p最小的一個,這樣子看起來很沒效率;第二個方法是”配方法”,把(1)的右式 ”配” 成 完全平”方”:

式4.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲

其中(2)的第二個等號用到了式5.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲這個公式。

      因為現在要在(2)中,比誰找出來的a可使p最小,所以(2)最右邊那句式6.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲很危險,因為只要你選錯a的值,它就會化身成一個正數,加上16後就會大於16。比如選a = 0,得到p = 16-16 = 0,大於-16。 

      因此聰明的你,就會在(2)中選a =4,使式6.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲化身為0,就得到p的最小值16了,你選a =4之外的任何值,都會使p變大。又因為

式7.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲

式8.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲是指a和4的距離,是正數或0,因此只要式8.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲愈大,則p愈大。這也是圖1告訴我們的,從最低點出發,只要左走和往右走相同的單位長,就會得到同樣的p值,因此拋物線本身左右對稱。

      而這個 a =4時, p =16的結果,我們寫成(4, 16),它就是圖1的頂點(最低點),這個頂點說穿了,就是比這個大小遊戲的”結果”:你選a =4,可得p =16為最小。由此例子看來,二次函數其實可看成一個比大小的遊戲,因此我們在學二次函數時,不妨它當成一個遊戲,這樣子去看它,就比較沒那麼嚴肅與無聊了

      只是,這個遊戲的參賽者最好要會配方。看來,大家最好認真學一下配方法,因為它是很有用的喔,它主宰這個遊戲的輸贏。最後,如果我們把(1)式加個負號,改成

式10.PNG - 拋物線是個比大小的遊戲

那麼它就可以成為一個”比誰選出的a可使上面的p值最大” 的遊戲。看完了上面的討論,讀者您應該會玩了吧,記得要先配方喔

      至於片頭那句話,是有名的DJ Hauer所說的兩句話,其出處請參考[1]。看來,本文把拋物線看成一個比大小的遊戲,也並無不可。其實,我們也可以說,(開口向上或向下的)拋物線是一種可由不共線的三點可唯一決定的曲線,比如說過,且開口向上或向下的拋物線,其實就是

     但這樣解釋,就沒有辦法玩比大小了,大部分人應該都喜歡玩遊戲,不是嗎?在您眼中,拋物線是怎樣的東西呢?

   

[參考資料]:

[1]DJ Hauer的一場演講

https://www.youtube.com/watch?v=VWRmepfBIew

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則
回應
關鍵字
    沒有新回應!





Powered by Xuite