201606111951連續正整數平方和的有趣等式

      底下的等式(1),大概是全世界最有名的連續整數平方和等式

式1.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

會那麼有名,當然是因為 3,4,5 構成直角三角形的三邊。日前,筆者在數學網站昌爸工作坊某個網頁中(見[1],在最底下的第3則),發現了下面的等式:

式2.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

看到上面兩個等式,筆者憶起十幾年前參加數學營隊時,印象中有看過一組連續等式如下:

不過,上面後面兩個等式的空格要填入什麼數字,筆者已然忘了。本文就來介紹筆者重新追尋,發現上面的(3)中後面的兩個等式,還有更一般的等式的過程,給大家認識。

      為了證明(3)中的第三個等式,我們假設第一個空格是,因此就有

式4.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

整理(4)之後,不難得出

式5.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

其中式6.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式時,代入(4)就有連續正整數平方和等式

式7.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

式8.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式時,代入(4)後則是能讓人會心一笑的一個等式

式9.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

但它不是我們要的連續正整數平方和等式。乘勝追擊吧,對於(3)中的 第4個 空格等式,我們也可以假設如下

式10.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

整理(5)之後,不難得出

式11.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

式12.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式時,代入(5)後一樣是讓人會心一笑的

式13.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

其中式14.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式時,代入(5)就有連續正整數平方和等式

式15.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

寫到這裡,(3)的兩個空格等式都已找出,讀者您是否和筆者一樣,覺得信心大增呢?Bon! (此為法文,是"好吧!"的意思),我們來挑戰一般的情形吧,何謂一般的情形呢?

     注意(3)的每個等式,都是等號左邊比右邊多一個數,因此一般的情形就是

式16.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

注意(6)的左邊有式17.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式個數,右邊有式18.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式個數,其中式18.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式為正整數,這符合我們所要的形式。整理(6)之時,要有點耐心,只要你學過高中數學,應該就不難解決。處理之後可得出

式19.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

我們要的是式20.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式這個解,雖然式21.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式代入(6)後會有令人會心一笑的結果,但不是我們要的(該結果讀者可以自己寫寫看)。將式20.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式代入(6)可得

式23.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

原來(7)就是本文所想找的連續正整數平方和的一般解,其左邊有式17.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式個數,右邊式18.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式個數。這麼一來,我們就可回頭把(3)寫好,並寫出更多的等式如下:

式24.PNG - 連續正整數平方和的有趣等式

其實(8)還可以一直寫下去,但我們就此打住,因為由(7)可知(8)想寫多少個等式就有多少個。以上就是筆者要分享的探索過程。

      不知各位心中有沒有看過一些有趣等式,卻又想不起來呢?若持續追尋,廣泛去涉獵,或許有一天會想起來的。同樣的道理,若你喜歡音樂,有沒有某段音樂是你喜愛的,卻又想不起是來自哪首歌曲或曲子呢?也可以用同樣的方式,廣泛地去聽去涉獵,希望有一天能找到它。最後分享一首有趣的童謠,請見[2]。聽完[2]後筆者想問,難道童謠[兩隻老虎]的起源是這首法國童謠?

        

參考資料

1. 美妙的數字—昌爸工作坊(數學網站)

http://www.mathland.idv.tw/recreat/beautynumber.htm

2. 法國童謠—Frère Jacques

https://www.youtube.com/watch?v=XMiwX77NDZs

(此歌曲內容很簡單,簡介如下:

Frère Jacques=賈克弟兄,稱謂。Dormez-vous?=Vous dormez?=你在睡覺嗎?主詞加動詞的簡單問句,前者是法文的倒裝用法,兩個都對,但倒裝要加上 tiret - 英文叫做dash。Sonnez des matines=發出晨禱的鐘聲吧,這是法文中的命令式,地位同英文中的祈使句。)

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

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