201603112314從一個以16, 50, 33所寫成的等式談起

     2016年3月,在數學網站昌爸工作坊(見[1])的首頁上,出現了下面三個等式: 

式1.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

乍看之下覺得頗為神奇,卻一時無法想通。只知道它們都由形如 16…6, 50…0, 33…3 的這三個數字所組成。

     經驗常告訴我們,遇到同類型且解不出來的題目,應該先解決簡單的情形。因此,筆者先單獨考慮(1)式到底是怎麼來的。一開始有幾個嘗試,但發現到最後都失敗。舉例來說,筆者曾想利用公式

式2.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式把(1)式的左式處理如下:

式3.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

然後就知道大概做不下去了。

     另外,筆者也曾考慮把(1)的左式中較好算的50 的3 次方移到右邊得到

式4.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

因此,若直接計算出式5.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式的值為40033,那就知道上式正確,也就知道(1)是對的。但此時我們可以自問,就算發現這是對的,那難道對於(2),(3)兩個式子的成立,也要這樣直接進行數字計算的驗證嗎?數字展開的計算太辛苦了吧,光看(2)式的驗證就知道了,如下式:

那更何況是(3)式(我們暫時不要用計算機)。

      此時,筆者忽然想到下面這類的問題,它與(1),(2),(3)相同的地方,是在問題中也帶有不好計算的指數數字(17的5次方不好算,如同333的3次方):

[問題1]:試求式6.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式 除以15 的餘數。

這個問題的解法,應該不要選擇把式6.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式算出來再除以15,因為這樣子用筆算的話,有點太浪費時間了。使用同餘的概念解此題是最快的,但沒學過同餘的讀者,可以考慮下面”以符號代表數”的作法:
[解答1]:令,則,因此
式7.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

此時利用長除法,就可知道
式8.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

根據除法原理,可知

式9.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

式10.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式,只要將代入上式,即得

式11.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

因此可知所求的餘數是14,[問題1]解答完畢。

     回到原本的問題。面對還沒頭緒的(1)式,看過上面對[問題1]的解法,筆者萌生了這個想法:應該像[問題1]的解法那樣 ”以符號代表數”。先把(1)式右式改寫後,(1)的左右兩式就可看成:

看起來(5)比原本(1)的右式好,因為(5)有獨立的16, 50, 33,就和(4)一樣,只是(5)多了100這個數字。筆者發現,此時就是"以符號代表數"的好時機,因為若令,在(4),(5)兩式中的各數字都將有簡單的表達式,分別是

式13.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

因此(4),(5)式就變成

只要花點時間,把(6),(7)兩個x的多項式展開,就可發現它們皆等於下面的多項式:

式15.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式

這就意味著我們得到了下方的恆等式,其中x可以是任意實數:

Bravo!! (此為法文,其意義請參考[2]) 有了(8)式這個x的恆等式,(1)式的由來便不是想像中那麼神秘,它只是對恆等式(8)令而得。另外,對於與(1)形式相同的(2),(3)兩式,只要分別對(8)令後就可得到(兩者在(8)式中的值,分別是1000與10000)。

     這個題目從嘗試到解出,即使方向曾經錯誤,但那並非白費心力,因為那能讓我們知道不該往那方向繼續下去。只要有耐心多轉幾個彎,加上點細心觀察,就有可能找到正確的解題方向。 

 

[後記]:寫成此文之後不久,筆者在網路上發現一個影片,請見[3]。該影片中的老師在鏡頭前講解了一個數學題目,是要計算下式之值:

筆者發現,除了使用影片中指導老師的方法外,也有另外的方法。我們只要令式18.PNG - 一個以16, 50, 33所寫成的等式,就可解題如下: 

這樣就得到了解答,此解法剛好用上本文所提到的 "以符號代表數" 的方法。

 

[參考資料]:

[1]昌爸工作坊數學網站

http://www.mathland.idv.tw/

[2]法文單字Bravo的意義

https://translate.google.com.tw/?hl=zh-TW&tab=wT#fr/zh-TW/Bravo!!

[3]臺北酷課雲[陪你倒數56天]影片 

https://www.youtube.com/watch?v=P3fvLuCLLuo

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

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