201512030033關於1/9801的循環小數表示

      2015 年12 月初,筆者在數學網站《昌爸工作坊》(見[1])裡面,發現昌爸分享下面的結果:

式1.PNG - [9801分之1]的循環小數

此結果主要是說明式2.PNG - [9801分之1]的循環小數的循環節出現了00, 01, 02, 03, ... , 97, 99這99個整數,但其中缺少了98這個整數。因此,其循環節有99×2 = 198個位數。

      我們令式3.PNG - [9801分之1]的循環小數 ,並令式4.PNG - [9801分之1]的循環小數,則我們有

式5.PNG - [9801分之1]的循環小數

式6.PNG - [9801分之1]的循環小數是什麼呢,它就是全天下知名的「1 的分身」,也就是兩者雖然長相不同,但其實式7.PNG - [9801分之1]的循環小數。但這為什麼呢?若學過無窮等比級數的求和公式,就知道

式8.PNG - [9801分之1]的循環小數

所以我們有式9.PNG - [9801分之1]的循環小數,因此式10.PNG - [9801分之1]的循環小數

      T 的出現,就是為了配合S ,他們猶如一部電影的男女主角(比如《海角七號》的阿嘉和 Tomoko),缺一不可。我們來把式11.PNG - [9801分之1]的循環小數簡化吧,注意T的循環節跟S一樣有198位,我們令其循環節為r,則:

式12.PNG - [9801分之1]的循環小數

上面的有限小數r的最後兩位是00,所以可以拿掉。因此我們有

式13.PNG - [9801分之1]的循環小數

在(2)的第二個和第三個等號之間的,是個公比為正且小於1的無窮等比級數,因此可化成(2)最右方的結果。而式14.PNG - [9801分之1]的循環小數(注意小數點後只有196位)可寫成級數和如下:

式15.PNG - [9801分之1]的循環小數

考慮一個級數和常用的化簡手法,如下:

式16.PNG - [9801分之1]的循環小數

兩式相減得

式17.PNG - [9801分之1]的循環小數

上式的右式,括號內最後那個數式18.PNG - [9801分之1]的循環小數看起來有點不太合群(只有它的分子是2),因此我們把上式改寫,並順勢化簡如下:

式19.PNG - [9801分之1]的循環小數

      數數看,上式的最後一式的第二個括號裡面,是不是個有99 項的等比級數呢?是的,且其首項是1、公比為式20.PNG - [9801分之1]的循環小數,因此我們有:

式21.PNG - [9801分之1]的循環小數

似乎快得到結果了,我們把上式的頭尾同乘式22.PNG - [9801分之1]的循環小數可得

式23.PNG - [9801分之1]的循環小數

將(3)的結果代入(2)後,可得:

式24.PNG - [9801分之1]的循環小數

別忘了兩位主角的關係:式10.PNG - [9801分之1]的循環小數 ,所以

式25.PNG - [9801分之1]的循環小數

最後再由(1)式,可知:

式26.PNG - [9801分之1]的循環小數

這樣我們就證明了昌爸的結果。


      筆者認為,循環小數與無窮等比級數是息息相關的,或者某方面可說根本就是一體兩面。正在念國中的讀者們,若對循環小數感到困惑不解,可以先別太急於了解,先把國中的數學基礎學好才是要緊,因為國中數學裡面,有些東西比循環小數更重要。等到上了高中,學會無窮等比級數如何求和之後,就會對循環小數更加了解,加油。


[參考資料]:
[1]昌爸工作坊  http://www.mathland.idv.tw/

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

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