201607080251請求解這題OED_0

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請求解這題OED

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2xyy'-y^2+x^2=0 用一階線性好像算不太出來~ 後來直接算,我先同除x^2變2(y/x)y'- (y^2/x^2)+1=0 之後把(y/x)設U,y'=(du/dx)x+u,之後變 2u(du/dx x+u)-u^2+1=0 整理後變(2u/u^2+1)du=(-1/x)dx,積分後變ln(u^2+1)=-lnx+C 乘e變u^2+1=eC/x 所以(y/x)^2=eC/x-1。 可是我用正合法驗算,算出來是(y^2/x)+x=C.....到底哪個是對的? 更新: 所以我算的2個答案都對?

最佳解答:

2xyy'-y2+x2=0 設u=y2, 則 du/dx=2yy' 原式改為 x(du/dx)-u+x2=0 (du/dx) - (1/x) u = -x 為一階線性, 積分因子= exp[∫(-1/x)dx]= exp(-lnx)=1/x 乘上積分因子得 (d/dx) (u/x) = -1 對x積分: u/x = -x + C y2/x = -x + C y2=-x2+Cx 是你對了! 題目所示作法: 2(y/x) y'- (y/x)2+1=0 令u=y/x, y=xu, y'=x(du/dx)+u 2u [x(du/dx)+u] - u2+1=0 2xu(du/dx)= -1-u2 2u/(u2+1) du= -dx /x (可分離) ln(u2+1) = -ln(x) + c 兩邊取指數,以e為底,得 u2+1= e^[-lnx+c]= C/x (其中C= e^c) 故 (y/x)2+ 1= C/x 或 y2+x2=Cx (注意紅色部分,不是兩邊乘 e) 2011-12-21 22:21:29 補充: 積分後變ln(u^2+1)=-lnx+C (對) 乘e變u^2+1=eC/x 所以(y/x)^2=eC/x-1 (錯) 正合法驗算,算出來是(y^2/x)+x=C (對)

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