傳統幾何學是缺少生氣也枯燥乏味的，它只能描述整齊而規則的物件
，卻無法描述許多自然界的形狀，像是山脈、樹木、雲朵、河川、海岸線等。 數學家曼德布洛特（ Benoit Mandelbrot ）在七Ｏ年代提出「碎形」幾何學之後，人們發現到「碎形」可以用來描述各式各樣的物體，從蜿蜒的小溪到股價的變動，從人腦的結構到星系的分布。碎形都可以包辦。



　　碎形，讓科學家、藝術家可以用簡單的電腦程式，模擬出大自然的複雜形態。如上圖所示，繪製碎形的方法主要有三種 。第一種 L-Systems 是用線段關係，繁衍出如同樹木般生長的樣子（例如 Logo 語言繪圖）。 第二種 Random IFS 是透過疊代函數，用隨機畫點的方式把結果繪製出 。 第三種 Formula IFS 是這篇文章的重點 ， 利用規範方程式可以畫出數學裡最美麗、最豐富的圖案。這裡不談麻煩的數學，我要透過兩套線上程式，直接帶大家去賞析那個內部——星羅棋布、變化萬千的碎形虛擬世界。

　　Java Applet 可以直接在網頁上執行，也方便與使用者互動。 試試看，用滑鼠按按下面的 Java Applet ，就像攝影機的鏡頭變換焦距一樣，你會進入碎形虛擬世界的深處。然後按其他地方，另一場奇異、截然不同的探險緊接著展開，彷彿是一層層不同形狀的階梯，正迎接你走入。在色彩的襯托下，有的像童話故事裡美人魚棲息的海岸線，有的像海馬長長的尾巴，螺旋捲曲。它們看似雜亂，卻又井然有序，看似分散，卻又細節完整。


Standard Mandelbrot Set Z²
　　用滑鼠按畫面可以 Zoom In，如果同時按下 Ctrl，則可以 Zoom Out。 由於新影像的繪製與解析需要大量的數學運算，所以在滑鼠點按之後，你可能需要等待１到６秒來更新影像，越是往內部探索，所需的等待時間便越久。但是與同類的程式比較，這套線上程式算是效能不錯的，我也盡量讓色彩的配置豐富些，以後打算增加更多互動的功能到這程式上。這個碎形虛擬世界，宛如一個微型宇宙，它以它的發現者來命名，我們稱作「曼德布洛特集」（Mandelbrot Set）。以下這個程式，是它的另一個變形。


Mandelbrot Set Z²: | Re²/Im | < bailout
　　曼德布洛特集是碎形（Fractal Theory）、混沌（Chaos Theory）的國際性標誌，它與它的「家族」頻繁地出現在國際會議的文集上與工程刊物的華麗封面上，它也是數位藝術的巡迴展覽的主要對象。曼德布洛特集是「
公認」最美麗、最複雜的數學對象，即使我們用全部的時間也無法探索完它的全貌。數學家、藝術家們很容易就被曼德布洛特集給迷上，它富有多重的變化與玩法。規範方程式的稍稍修改，加上不同的配色，就可能產生意想不到的美妙影像。它是一個讓人流連忘返的虛擬世界。

　　曼德布洛特集，被人稱為「魔鬼的畫廊」，在我看來，它也是上帝的百寶箱。它與同時代所出現的立體派藝術家的繪畫作品一樣，讓人耳目一新，讓人驚呼連連。隨著近十幾年在電腦運算速度的提升，像曼德布洛特集這類的碎形藝術，以更絢爛的圖形豐富了我們的視覺美感經驗，擴展了數位藝術更多創作的可能性，以及觀者不同角度的觸發。

　　這裡我不談數學，另一篇文章我再來介紹「曼德布洛特集」是如何結合電腦語言與數學方程式而生成的。站在賞析的角度，曼德布洛特集，跟我以前提到的典型碎形一樣，它具有無窮的細膩度，而且在不同尺度下（
Zoom In／Zoom Out ）， 它呈現出的那些結構具有相似性，我們往往會在意料之外發現，類似的結構被嵌套在圖形的另一處，但是卻又有點差別。曼德布洛特集，最不可思議的地方在於：不斷複製自己卻不重複自己的圖案。不斷創生的型態，彷彿有無限的生命力一般，其中簡單與複雜、秩序與紊亂，緊密地連結在一起——這不就是大自然同樣呈現出的樣貌！

　　最後附上標準版的「曼德布洛特集」線上程式：


Mandelbrot Set : Z→Z²+C