201607080554高中數學(向量)問題

標題:

高中數學(向量)問題

發問:

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AD05479652/o/151012310438413871851660.jpg a b c 均為單位向量,且a向量和b向量垂直,x為實數 求f(x)之最大值和最小值

最佳解答:

為方便打字, 三個向量我不加向量符號. (f(x))^2 = {cos(x)a+sin(x)b+c}.{cos(x)a+sin(x)b+c} = (cos(x))^2 a.a+(sin(x))^2 b.b +c.c + 2cos(x)sin(x) a.b + 2cos(x) a.c + 2sin(x) b.c = (cos(x))^2 + (sin(x))^2 + 1 + 2cos(x) a.c+2sin(x) b.c = 2 + 2cos(x) a.c + 2sin(x) b.c 對任意兩實數 A, B, 令 sin(r) = A/√(A^2+B^2), cos(r) = B/√(A^2+B^2), 則 A cos(x) + B sin(x) = √(A^2+B^2) sin(r+x) 極大為 √(A^2+B^2) , 極小為 -√(A^2+B^2) . 故 (f(x))^2 之 極大值 = 2(1+√[(a.c)^2+(b.c)^2]), 極小值 = 2(1-√[(a.c)^2+(b.c)^2]). 而 f(x) 為其正平方根. 以上結果要成立必須 [(a.c)^2+(b.c)^2]≦1. 若 a, b, c 在一平面上, 則 c=αa+βb, 其中α,β為純量且 α^2+β^2=1, 故 (a.c)^2+(b.c)^2 = α^2 + β^2 = 1. 若 a,b,c 在三維空間, 或更一般的向量空間, 則存在 u 與 a, b 都垂直, 而且 u 也是單位向量, 使 c = αa+βb+γu, 其中 α^2+β^2+γ^2=1. 而 (a.c)^2+(b.c)^2 = α^2+β^2≦1.

其他解答:

(f(x))^2 = {cos(x)a+sin(x)b+c}.{cos(x)a+sin(x)b+c} = (cos(x))^2 a.a+(sin(x))^2 b.b +c.c + 2cos(x)sin(x) a.b + 2cos(x) a.c + 2sin(x) b.c = (cos(x))^2 + (sin(x))^2 + 1 + 2cos(x) a.c+2sin(x) b.c = 2 + 2cos(x) a.c + 2sin(x) b.c令向量a,與向量c夾角 y,向量b,與向量c夾角為 (y+90) 2 + 2cos(x) a.c + 2sin(x) b.c= 2 + 2cos(x)cos(y) + 2sin(x) cos(y+90)=2+ 2cos(x)cos(y) - 2sin(x) sin(y)=2+2cos(x+y)最大 cos(x+y) = 1 時,2+2cos(x+y) = 4 , |f(x)|=2最小 cos(x+y) = -1 時,2+2cos(x+y) =0, |f(x)|=0 (意見打不下這麼多字,只好回答。) http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=986&prev=883&next=985 2011-01-02 02:31:37 補充: 最後兩行的 |f(x)| 改成 f(x) 如果設向量b,與向量c夾角為 (y-90) 求出來結果會一樣2DFBFFA78A0B7F41
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