201801231243兩個科學班的入學測驗試題

主持人:「你那次有多失望?就是說你發現,他放到國際賽場上,不行耶,真的很不行。」

林教練:「沒有,我沒有失望,我們只是想說,怎麼幫助他,讓他抗壓更成熟。」

— 取自TVBS看板人物專訪

一、前言

      在網路上,筆者發現有兩個科學班入學測驗試題,請參考[1]與[2]。其中,筆者有興趣的兩個問題,請參考[1]的第三題與[2]的第二題,將在底下分享自己的解法。

二、解法

      第一個問題的敘述如下:

[問題1]:已知式1.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題是一個四次多項式函數,式2.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題項係數為1,且其函數圖形與式3.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題軸相切於式4.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

(1)可否證明式5.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題?若可以,請證明。

(2)可否證明式6.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題有三個相異實根?若可以,請證明。

(3)有幾個反曲點?為什麼?

筆者解題如下:

[解]:假設

式8.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

因為式1.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式3.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題軸於式4.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,如下圖: 


圖1

因為式4.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式3.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題軸上,所以

式9.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

又因為式1.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式4.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題兩處與水平線(式3.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題軸)相切,可知切線斜率式10.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題為0,因此

式11.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

由(3)可知(2)可化為式12.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,將其與(4)聯立解得

式13.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

因此可知 

式14.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

這是因為式15.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,第(1)小題得證。又因為

式16.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

可知式6.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題共有式17.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題三相異實根,至此解出第(2)小題。

      至於反曲點,是指滿足式18.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,且式19.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式20.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題兩側異號的點式21.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題。考慮

式22.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題 

式23.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,可知

式24.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

式25.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,則式26.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,請參考下圖所示:

圖2

(A)當式27.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題時,

式28.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

(B)當式29.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題時,

式30.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

(C)當式31.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題時,

式32.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

      由(1),(2)兩式可知式19.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式33.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題(鄰近的)兩側異號,由(2),(3)兩式可知式19.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題也在式34.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題(鄰近的)兩側異號,又由於式35.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,可知有式36.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式37.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題這兩個反曲點,也就是

式38.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

這樣就解決了[問題1]。

      第二個問題如下:

[問題2]:考慮以下的聯立線性方程組,方程組中的未知數式39.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題共有無窮多個,其方程式亦有無限多個。試寫出此聯立線性方程組所有解的通式。

式40.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

筆者解題如下:

[解]:不難發現各方程式中出現的三個足碼,不是同為奇數,就是同為偶數。因此,可以分開考慮底下兩個方程組: 

式41.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

可以分成這兩個方程組,是因為(4)中的每一個變數之值,都不會因為受到(5)中變數之值的影響,反過來說也是。而(4)與(5)都同屬於底下這類方程組:

式42.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

因為(4),(5)是同類型的方程組,我們只要看(4)就好,接下來(5)的解法可以直接採取同理可證的手法。

      觀察(4),假設我們把式43.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題中的每個變數都當成人,請他們照式43.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題的順序給出自己的值,並且要遵守(4)的規定。我們會發現,式44.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題給出時,不會受任何限制(給式45.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題之值出時因式46.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題之值還不確定,所以其實式45.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題不受限制),但到了式46.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題還有之後的式47.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,每個變數給值時,都必須滿足「與前兩個變數值之和為0」。比如說,最開始的兩個方程式,就要滿足式48.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式49.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

      因為一開始式44.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題的值不受限制,使用高中時學過的參數式技巧,可令式50.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,則式46.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題之值可求出如下:

式51.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

接下來可知

式52.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

接下來的式53.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題各數,將依照式54.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題的順序繼續下去,其中式55.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題為非負整數。

      現在關心方程組(5),令式56.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,先得到式57.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,並且同理可知式58.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題滿足

式59.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

其中式55.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題為非負整數。因此,可知原方程式的解為

式60.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

其中式55.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題為非負整數且式61.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題 。給個例子,取 

式62.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

則有

式63.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題

其中式55.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題為非負整數。

三、結語

      第一個問題的最後一個小題,我們知道反曲點是指滿足式18.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,且式19.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式20.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題兩側異號的點式21.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題,這表示在式21.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題的兩邊分別有式64.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題式65.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題。而式64.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題 (或式65.PNG - 兩個科學班的入學測驗試題)為何就有凹口向上(或向下),這在高中的時候只有簡單利用圖形說明,並沒有嚴格證明,對其證明有興趣的同學,請參考[3]的證明(可至大學圖書館找找[3])。

      第二個問題,雖然給出了無窮多個變數,乍看之下很難,但是其實只要對前面的四個變數以參數的方式來描述其值,後面無窮多個的變數值就跟著求出來了。再看一次(6)與(7),發現此問題的解最後變成了一個週期數列。至於文章開頭分享的兩段對話,請參考[4]。

      

[參考資料]

[1]105學年度台大高中科學班資格測驗試題本,available from:

http://case.ntu.edu.tw/CASEDU/wordpress/wp-content/uploads/2016/07/105學年度資格測驗科學班試題:數學科.pdf

[2]106學年度台大高中科學班資格測驗試題本,available from:

http://case.ntu.edu.tw/CASEDU/wordpress/wp-content/uploads/2017/07/106數學.pdf 

[3]Richard Courant and Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol. II, page 499, b. Convex Functions. Proof of Bohr and Mollerup's Theorem, The Eulerian Integral(Gamma Function)

[4]45秒!累15年 金鞍馬李智凱,TVBS看板人物

https://www.youtube.com/watch?v=CQ1kk8WTg7g&t=2243s

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

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