201703261137再一個排列組合問題如何?

再會啦心愛的無緣的人,若無愛石頭也無彩工..

— 取自台語歌《再會啦心愛的無緣的人》

               

      在嘉義高中科學班的試題當中(見[1]),有一個問題如下:

[問題1]:已知為整數,且,則整數序對有幾組解?

      在[1]中也附有解答,這個問題的答案是120。看到這個答案,就知道其解法不可能是直接把所有的解列出來,所以一定會用到排列組合的知識。筆者的解法如下:

[解答]:注意的正負符號,有全為正(1種)與一正二負(3 種),共計四種情形,每種情形的方法數一樣多。因此,我們只要先考慮x, y, z全為正的情形的方法數,最後考慮其符號時,只要將該方法數乘以4 即可。

      因為,可知的質因數也只有2,3兩個。令

其中均為非負整數,則可化為

 

因為一個正整數只有一種正質因數分解式(why? 請參考[2]),所以由(1)知

 

關於(2),可視為「三個球與兩個加號」的不盡相異物排列,其非負整數解共有種方法;同理,(3)可視為「一個球與兩個加號」的不盡相異物排列,非負整數解共有種方法。

      最後,考慮一開始所說的正負號,可知解答共有種,這一百多種方法,實在講,用列的真的不方便啦。就算只列出x, y, z全為正的情形,也多達30 種,看來,各位讀者在高中學習排列組合式,還是稍微認真聽課比較好。也許,當下第一次聽老師講時,無法完全聽得懂,但是也不要放棄,課後可以請教比較厲害的同學。

      畢竟學到的東西,日久就可以累積成可帶著走的隨身寶庫,一輩子都用得到(即使可能不會很常用),重點是,要靠你自己累積喔。

      至於文章開頭處所分享的兩句話,是取自[3],主要是希望大家在面對愛情時,即使是在戀愛中,不要因為發現對方不願意繼續走下去,就意志消沉,甚至想要傷害對方。因為愛情是要兩情相悅,若對方不願意,總不能勉強對方吧。此時,不妨在心中唱一下[3]這首歌,再瀟灑離開,找適合自己的戀愛對象。不過,你知道歌詞中為何會提到石頭嗎?蠻有意思的,可以想想這個問題。

      

[參考資料]:

[1]嘉義高中科學班甄選試題(請點選數學科試題,即可發現上面的[問題1])

http://www.cysh.cy.edu.tw/files/14-1001-2444,r255-1.php?Lang=zh-tw

[2]本站文章 —一個簡單有用的定理

http://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/123046044

[3]好聽的台語歌曲再會啦心愛的無緣的人》

https://www.youtube.com/watch?v=EqoQhUaLYsI

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則
回應
關鍵字
    沒有新回應!





Powered by Xuite