201703251643有趣的算人數問題

"Don't hold your breath. (省省你的力氣吧)"

— 取自電影Père-Lachaise的一句對白 

     

      在台中一中科學班的甄選考卷中(見[1]),數學試題的部分,筆者發現一個有趣的人數計算問題,是填充第12題,如下:

[問題12]:某班級26 位同學參加數學測驗,一共有A, B, C三題。已知每位同學至少都能解出一題,且解出A題的同學一定也解出B題,恰好解出兩題的人數是三題都解出人數的2倍,恰好解出一題的人數是解出A題人數的2倍,則沒有解出A題的人數有_____位。

      像[1]這樣的考卷,應該是幾個小時內就要考完。但是,光是上面這題,筆者就想了兩天,也許這題是填充裡面最難的一題,所以出題者將其放到最後,避免大家浪費太多時間。請讀者觀察一下題目,題目中同時提到恰好解出一題的人數 恰好解出兩題的人數恰好解出三題的人數,所以這三個人數很重要。

      底下,筆者將分享自己的解法

[解答]:因為題目中提到解出A題的同學一定也解出B題,這表示「解出A題的同學所成的集合」一定落在「解出B題的同學所成的集合」之內。因此,我們可以畫出底下的共有三個圓圈的文氏圖:

圖1

注意解出A題的人所成集合以包含b, z的圓圈代表,解出B題的人所成集合以包含a, b, z, c的圓圈代表,而解出C題的人所成集合以包含c, d, z的圓圈代表。其中a, b, z, c, d都是非負整數,它們之中的任何一個,也可能是0,代表該區的人數為0。

      此時注意,我們假設恰好解出一題、兩題與三題的人數分別為x, y, z人(注意z即圖1中解出三題的人數),並假設解出A題的人有s人,要這樣子假設,是因為這四個數字是題目的條件中特別提到的。由題目所假設的條件,我們知道每個人至少解出一題,所以x, y, z之和即為全班人數,即 

而「恰好解出兩題的人數是三題都解出人數的2倍」 與「恰好解出一題的人數是解出A題人數的2倍」這兩個條件,都可以翻譯成

將上述兩式代入(1)可知

這是個很重要的式子。由(4)可知3z=26-2s,因為26-2s為偶數,所以3z為偶數,故z必為數。請稍微幫忙用力記下來「z為數」喔,後面會用到。

      此時,觀察文氏圖中恰好解出一題、兩題與三題的區塊(子集合)所成集合,分別為{a,d}, {b,c}, {z},因此我們知道

記得我們有假設解出A題的人有s人吧,由文氏圖可知

     底下,是最重要的數字分析過程,分兩部分呈現:

(Part 1):由且b非負,可知


將(6)代入(4)可得

 

上面最後一個推導箭頭,是因為人數z必為整數。

(Part 2):由與(2),(5)可知

注意上面第一個不等式是因為。將(8)代入(2)可得

上面最後一個推導箭頭,同樣是因為人數z必為整數。

      此時,由(8),(9)可知,還記得z為偶數吧,所以只能選z=4喔。將z=4代入(4),可先得s=7,再由(2),(3)可知x=14, y=8。至此,題目所問的「沒有解出A題的人數」,即

「全班人數(26人)」 減去 「解出A題的人數(s=7人)」

因此為26-s=267=19人。

      至於文章開頭的那句話,是取自法文電影Père-Lachaise的對白,那是男主角在女主角找到所仰慕的已故愛爾蘭作家Oscar Wilde的墳塚後,女主角發現男主似乎不了解她,悻悻然掉頭離開前,對男主角所講出的一句話。對該片內容,或者該片中所拍攝所在的墓園場景有興趣的讀者,不妨參考[2]與[3]。在[2]裡面,女主角曾經問過男主角一句話:

"You know what his dying words were?"

像這樣的英文,非常的口語,而且是個倒裝句(本來應是:Do you know what were his dying words?)。看來,藉由看電影,我們反而可以學到比較生活化的英文,真的很不錯喔。

     雖然[3]裡面提到許多偉大的人物,但往者已矣,各位的未來才是最重要的,發揮自己的專長,朝自己的目標前進吧,哪怕只是每天前進一點也好。雖然說,人比人氣死人,但若不前進的話,別人也會繼續前進,終究會超越過你的,給自己一點期許吧。想遠一點,暫時換個方向努力,或許是有用的方法。比如說,若你發現暫時不下書,你可以做個30下仰臥起坐,或者出去慢跑個3000公尺,至少把身體練好。說不定明天你靈感來了,書中很多部分即將念通但前提是還需要你健康的身體,才能繼續唸下去。比如不小心感冒的話,書可能就唸不太下去了。

      除此之外,若能養成運動的習慣,就算最後發現自己不太喜歡念書,但保持不錯的體能且把身體照顧得很好,將來也可以去做需要體力的工作,這也是一種收穫,不是嗎?

     

[參考資料]:

[1]106學年度台中一中科學班科學能力檢定試題及選擇題參考答案

http://www.tcfsh.tc.edu.tw/web/adm/exam/sci/106學年度科學班甄選-科學能力檢定試題及參考答案.pdf

[2]Pére-Lachaise (電影Paris Je t'aime中的一個短片,導演:Wes Craven)

https://www.youtube.com/watch?v=nvq2dF6Mj1o   (3分41秒,吸菸有害健康)

[3]維基百科--[拉雪茲神父墓園]條目

https://zh.wikipedia.org/wiki/拉雪兹神父公墓

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

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