201607132133昌爸給的一個問題

      在2016 年6 月,昌爸在網路上公告了一個問題如下:

[問題1]:式1.PNG - 昌爸給的一個問題是平方數,而且式2.PNG - 昌爸給的一個問題也是平方數。式3.PNG - 昌爸給的一個問題是平方數,而且式4.PNG - 昌爸給的一個問題也是平方數。式5.PNG - 昌爸給的一個問題是平方數,而且式6.PNG - 昌爸給的一個問題也是平方數。

上述三個正整數 48、1680 和 57120 在 加1 之後都是平方數,而且 它們的一半 加1 之後也都是平方數,試求具有這樣性質的下一個正整數為何? 

     此題目的意思,一般來說,即是要找出某些正整數a,它們都有個特點就是可找到另外兩個正整數b, c,滿足

式7.PNG - 昌爸給的一個問題

想了一下後,筆者決定把a消掉,考慮(1)-(2)可得

式8.PNG - 昌爸給的一個問題

只要我們找出滿足(3)的正整數b, c,就可將所得的b或c之值代回(1)或(2),就可得到正整數a的值。然而,(3)可以寫成行列式的形式如下:

式9.PNG - 昌爸給的一個問題

題目中的給的三個例子中,第一個例子的b,c對應的(4)式為

式10.PNG - 昌爸給的一個問題

而我們知道

式11.PNG - 昌爸給的一個問題

為何要找(6)式中這個值為1的行列式呢?其作用後面會見分曉。在(5),(6)兩式中等號左邊的行列式對應的矩陣為

式12.PNG - 昌爸給的一個問題

則有

式13.PNG - 昌爸給的一個問題

因為兩矩陣相乘後取行列式,其值等於兩矩陣各自的行列式相乘(證明請看文末[註1]中的證明),若令式14.PNG - 昌爸給的一個問題,則

式15.PNG - 昌爸給的一個問題

此時我們用到一個性質,即若有兩個 "主對角線元素相等,左下角元素等於右上角元素的兩倍" 的2×2矩陣,如下:

這樣子的兩個矩陣相乘後,其實還是會得到同一類型的矩陣(主對角線元素相等,左下角元素等於右上角元素的兩倍)。這個性質的證明不難,只要直接把上面兩個矩陣相乘,就可得到:

因此得證。回到原本的主題,此時我們繼續可得

式16.PNG - 昌爸給的一個問題

而行列式

式17.PNG - 昌爸給的一個問題

就是題目中的第二個例子的b,c在(4)式中所對應的行列式;再令式18.PNG - 昌爸給的一個問題,則

式19.PNG - 昌爸給的一個問題

此時亦有

式20.PNG - 昌爸給的一個問題

行列式

式21.PNG - 昌爸給的一個問題

就是題目中的第三個例子的b,c在(4)式中所對應的行列式。由以上過程,可知可繼續取下一個矩陣

式22.PNG - 昌爸給的一個問題

它的行列式為

式23.PNG - 昌爸給的一個問題

對應於(4)可得式24.PNG - 昌爸給的一個問題,由(1),(2)可知此時

式25.PNG - 昌爸給的一個問題

因此 1940448 就是我們要的數,它滿足

式26.PNG - 昌爸給的一個問題

這樣子就回答了昌爸的問題,而且還可以繼續使用同樣的方法,求出下一個和1940448具備同樣性質的數。

 

[註1]:上面過程中有一個事實沒有證明,那就是兩個2×2的矩陣相乘後取行列式,會等於兩矩陣先取行列式後再相乘。這就好像拼圖缺了一角,底下來證明它,考慮:

式27.PNG - 昌爸給的一個問題

則有

式28.PNG - 昌爸給的一個問題

注意有

取行列式得

這樣就補上最後一塊拼圖了。

      最後,感謝昌爸給出這個有意思的問題,該問題所在之處,請參考[1]。

   

[參考資料]:

[1]昌爸工作坊--動動腦 160626~160711 問題

http://www.mathland.idv.tw/solution/page9.htm

(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)

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