201607081340請教因數倍數與多項式的問題

標題:

請教因數倍數與多項式的問題

發問:

1.有20個正因數的最小自然數為___ 2.若八位數543ab891除以9餘3,除以11餘9求a=__b=__ 3.設P=(a^2-22a+121)(a^2-2a+137)其中a為正整數,p是質數,求p=__ 4.設x是自然數,以x除280及880所得餘數分別為16和22,求x=__ 5.2a59b4/1980可化為有限小數,a,b屬於{0,1,2,3......9}問a=__b=__ 謝謝!

最佳解答:

1. 20=2*2*5, 設此自然數為m, m=a^x*b^y*c^z, a,b,c為質數 其正因數有:(x+1)(y+1)(z+1)個, 要最小因此,a=2,b=3,c=5,x=4,y=z=1, m= 2^4*3*5= 240 2. 543ab891-3=543ab888為9的倍數: 5+4+3+a+b+8+8+8=36+a+b為9的倍數, 36+a+b=36,45,54 543ab891-9=543ab882為11的倍數: (5+3+b+8)-(4+a+8+2)=2+b-a=0,11, (1)a+b=0, a=b=0, 2+0-0=2(不合) (2)a+b=9, 2+b-a=0, a=13/2,b=7/2(不合),2+b-a=11, b=9, a=0 (3)a+b=18, 2+b-a=0, a=10,b=8(不合), 2+b-a=11, b=27/2,a=9/2(不合) 3. p為質數,a^2-22a+121=1 or -1,或 a^2-2a+137=1 or -1, a=12, p= 257, a=11, p= 247, 4. 280-16=264, 880-22=858, 264與858的公因數為2,3,11,6,22,33,66 x要大於16,22, 因此 x= 33 or 66 5. 若最簡分數m/n可化為有限小數,則 n最多只能有2,5兩個質因數 1980=2^2*5*9*11, 因此 2a59b4為9和11的倍數 作法類似第2題, a= 6, b= 1

其他解答:

1.當一個數表示成標準分解式,例如:40=2^3 * 5,12=2^2 * 3,底數皆為質數,則該數所擁有的正因數個數為該數的標準分解式中的指數加1的連乘積,例如:40有(3 1)(1 1)=8個正因數,12有(2 1)(1 1)=6個正因數(指數 1的連乘積)。有20個正因數,即某數的指數 1的連乘積=20 而20=1*20=2*10=4*5=2*2*5,所以某數的標準分解式中的指數可能為:(1,9),(3,4),(1,1,4),找最小自然數,則底數要為最小的2或3個質數,即2,3或5,最小的底數配上最大的指數,才會是最小,因此 某數可能=2^9 * 3=1536 =2^4 * 3^3=432 =2^4 * 3 * 5=240 所以所求有20個正因數的最小自然數為240 2. 543ab891除以9餘3,除以11餘9 即9整除543ab888,11整除543ab882 則5 4 3 a b 8 8 8=36 a b要被9整除 且4 a 8 2-5-3-b-8=a-b-2要被11整除 又因為a和b最大為9,最小為0 所以a+b=0,9,18 a-b=2 a和b無一位數的正整數解,所以無解 3.P=(a^2-22a 121)(a^2-2a 137)=(a-11)(a-11)(a^2-2a 137),因為p是質數,所以(a-11)(a-11)=1, a=12,p=12^2-2*12 137=257,恰為質數 4.以x除280及880所得餘數分別為16和22,即x整除280-16=264,x整除880-22=858,x必為264和858的公因數,但大於22(除數不小於和等於餘數),x=33或66 5.分數轉換成有限小數的必要條件是分母只能是2或5或10,意思是分數一直化簡後分母只能是2或5或10,而1980=198*10,所以2a59b4要被198整除,而198=2*9*11,2a59b4已經有2 2 a 5 9 b 4=20 a b被9整除,a b可能為7,16 a 9 4-2-5-b=6 a-b被11整除,a-b=-6,5 a=5,b=11(不合)或a=6,b=1 a=6,b=1 2008-05-31 15:22:20 補充: 3.121和137前面是+6AFDA1271C972566
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